Simulação Web

Simulação de Rede Pt. 1 (Navegação na Web)

Para simular um roteador recebendo pacotes de navegação web, a simulação envolve a chegada de pacotes seguindo uma distribuição exponencial, semelhante à fila M/M/1. No entanto, o tempo médio de atendimento é calculado com base nos tamanhos dos pacotes que chegam ($L$) em bytes e na capacidade de atendimento do link ($R$) em bytes/s, seguindo a fórmula: $$t_{atendimento} =\frac{L}{R}$$.

Cenário

No cenário simulado, utilizou-se a taxa de chegada dos pacotes ($\lambda$) como 100 pacotes/segundo, e a geração dos pacotes teve o objetivo de simular um comportamento de navegação na web, seguindo as seguintes proporções:

50% dos pacotes têm tamanho de 550 bytes
40% dos pacotes têm tamanho de 40 bytes
10% dos pacotes têm tamanho de 1500 bytes

Foi utilizado uma função aleatória ponderada para a geração dos pacotes conforme as proporções descritas:

Tamanho Médio dos Pacotes ($L$)

O tamanho médio dos pacotes pode ser calculado com base nas proporções fornecidas: $$L = (0.5 \times 550) + (0.4 \times 40) + (0.1 \times 1500)$$ $$L = 441 \ \text{bytes}$$

Ocupação

Restrição imposta:
A ocupação do link deve obedecer os seguintes cenários:

$\rho_1$ = 60%
$\rho_2$ = 80%
$\rho_3$ = 95%
$\rho_4$ = 99%

Assim, devemos calcular o tamanho do link ($R$) previamente para que ao final da execução esses cenários sejam satisfeitos.

Tamanho do Link ($R$)

A fórmula da utilização é dada por: $$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$$ $$\text{Tempo médio de atendimento} = \frac{1}{\mu} = \frac{L}{R}$$ Manipulando a fórmula da utilização: $$\mu = \frac{\lambda}{\rho}$$ $$\frac{1}{\mu} = \frac{\rho}{\lambda}$$ Substituindo $1/\mu$ por $L/R$: $$\frac{\rho}{\lambda}= \frac{L}{R}$$ Portanto, o tamanho do link em bytes/segundo pode ser calculado como:

$$R = \frac{L \cdot \lambda}{\rho}$$

Cálculo da Capacidade do Link para as Diversas Ocupações

Com a fórmula obtida, podemos calcular a capacidade do link previamente para diferentes ocupações.

Temos que:

$\lambda = 100 \ \text{pcts/s}$
$L_{médio} = 441\ \text{bytes}$
$\rho = \{0.6, 0.8, 0.95, 0.99\}$

60% de ocupação: $$R_{60\%} = \frac{441 \cdot 100}{0.6} = 73500 \ \text{bytes/s}$$
80% de ocupação: $$R_{80\%} = \frac{441 \cdot 100}{0.8} = 55125 \ \text{bytes/s}$$
95% de ocupação: $$R_{95\%} = \frac{441 \cdot 100}{0.95} \approx 46421 \ \text{bytes/s}$$
99% de ocupação: $$R_{99\%} = \frac{441 \cdot 100}{0.99} \approx 44545 \ \text{bytes/s}$$

Resultado das Simulações

Medidas de Desempenho

A seguir foram calculadas medidas de desempenho com base em cada simulação realizada, cada gráfico conta com uma legenda onde estão classificadas as simulações e seus respectivos parâmetros de execução:

P1: Taxa de chegada de pacotes(pcts/s), P2: Tamanho do link(bytes/s)
Semente aleatória = 100
Tempo de simulação = 100.000 segundos

Em algumas medidas, existem campos que podem ser utilzados para validar o desempenho do sistema. *Clique nas legendas para ocultar os gráficos para uma melhor visualização

1. Utilização/Ocupação ($\rho$)

Validação da utilização

A utilização é dada por: $$\rho = \frac{\lambda}{\mu} $$ Sabendo que o tempo médio de serviço(atraso de transmissão do roteador) é definido por $L/R$, podemos substituir $1/\mu$: $$\frac{1}{\mu}= \frac{L}{R} $$ Desse modo, a fórmula da utilização pode ser representada da seguinte maneira:

$$\rho = \frac{\lambda \cdot L}{R}$$

Calcule $\rho$ através da equação obtida:

$\lambda$:

$L$:

$R$:

$$\rho = \frac{\lambda \cdot L}{R}$$

3. Média de elementos no sistema ($E[N]$) & Tempo médio de espera ($E[W]$)

Validação $E[N]$ e $E[W]$

Como discutido no artigo anterior, sabemos que $E[N]$ e $E[W]$ pode ser representada por: $$E[N] = \frac{\rho}{1-\rho} \ \ \ \ \ E[W] = \frac{1}{\mu - \lambda}$$

Vamos calcular $E[W]$ tendo como base a taxa de chegada dos pacotes $(\lambda)$, o tamanho médio do pacote $(L)$ e o tamanho do link$(R)$.

Substituindo $\mu$ por $R/L$ em $E[W]$: $$E[W] = \frac{1}{\frac{R}{L} - \lambda}$$ $$E[W] = \frac{1}{\frac{R - L \cdot \lambda}{L}}$$ Portanto, o tempo médio de espera pode ser representado por:

$$E[W] = \frac{L}{R - L \cdot \lambda}$$

Calcule $E[N]$ e $E[W]$ através das fórmulas:

$\rho$:

$\lambda$:

$L$:

$R$:

$$E[N] = \frac{\rho}{1-\rho}$$

$$E[W] = \frac{L}{R - L \cdot \lambda}$$

4. Taxa de chegada de elementos no sistema $\left(\lambda\right)$ & Taxa de atendimento $\left(\mu\right)$

A taxa de chegada de elementos no sistema $(\lambda)$ é passada como parâmetro inicial e representa o inverso do tempo médio entre as chegadas dos pacotes. Já a taxa de atendimento ($\mu$) pode ser calculada como o inverso do tempo médio da atendimento ( ou atraso de transmissão - $L/R)$.

$$\lambda = \frac{1}{\text{Tempo médio entre as chegadas}}$$

$$\mu = \frac{R}{L}$$

Calcule $\mu$ através da equação obtida:

$L$:

$R$:

$$\mu = \frac{R}{L}$$

5. Erro de Little

Lei de Little: $$E[N] = \lambda \cdot E[W]$$

$$\text{Erro de Little} = \left| E[N] - \lambda \cdot E[W] \right|$$

Referências

ROSS, S. M., Simulation. 4ª ed. San Diego: Academic Press, 2006.
ALLEN, Arnold O. Probability, statistics, and queueing theory: with computer science applications. 2. ed. San Diego: Academic Press, 1990.

Simulação via Eventos Discretos

Simulação de Rede Pt. 1 (Navegação na Web)

Cenário

Tamanho Médio dos Pacotes (\(L\))

Ocupação

Tamanho do Link (\(R\))

Cálculo da Capacidade do Link para as Diversas Ocupações

Resultado das Simulações

Medidas de Desempenho

1. Utilização/Ocupação (\(\rho\))

Validação da utilização

3. Média de elementos no sistema (\(E[N]\)) & Tempo médio de espera (\(E[W]\))

Validação \(E[N]\) e \(E[W]\)

4. Taxa de chegada de elementos no sistema \(\left(\lambda\right)\) & Taxa de atendimento \(\left(\mu\right)\)

5. Erro de Little

Referências